Continuité de \(f:(E,\tau_1)\to (F,\tau_2)\) en \(a\)
Tout
Voisinage de \(f(a)\) contient l'image par \(f\) d'un voisinage de \(a\).
Si on commence proche de \(a\), alors l'image est également proche de \(f(a)\).$$\forall V\in\mathcal V(f(a)),\qquad f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)$$
- caractérisations :
- On peut passer par les Base de voisinages : \(\forall V\in{\mathcal B}_{f(a)},\exists U\in{\mathcal B}_a,\quad f(U)\subset V\)
L'image inverse par \(f\) de tout voisinage de \(f(a)\) est un voisinage de \(a\) : \(\forall V\in\mathcal V(f(a)),\quad f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)\)
L'image réciproque de tout Ouvert est un ouvert : \(\forall U\in\tau_2, f^{-1}(U)\in\tau_1\quad\text{ ou }\quad \forall U\in{\mathcal B}_2,f^{-1}(U)\in\tau_1\)(on peut aussi passer par une Base de \(\tau_2\)
L'image réciproque de tout Fermé est un fermé
L'image de l'Adhérence est comprise dans l'adhérence de l'image \(\forall A\subset E,\quad f(\overline A)\subset \overline{f(A)}\)
- on dit que \(f\) est continue en \(A\) si \(\forall a\in A\), \(f\) est continue en \(a\)
- caractérisation séquentielle : la fonction \(f\) permute avec \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\) pour toute Suite convergente : $$\forall(x_n)_n\in E^{\Bbb N},\quad \underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x_n=x\implies \underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f(x_n)=f(x)$$
- on a le sens \(\impliedby\) de cette équivalence dans tous les cas, même dans une topologie qui n'est pas à base de voisinages dénombrable
Exercices
